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枪手模型的机率分配──论三国博奕荆州的数字分析

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2005-10-26 16:48:19

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东山高士

 
  一、前言
 
  有人说荆州之分为三个枪手互相打枪,按博奕理论来分析曹操与刘备互斗时,为孙权叛盟的合理性作出辩解,其实该模型就数字分析上,背叛永远比不比合作有利。
 
  二、该模型原假设
 
  前提为甲枪手的命中率为80%,乙枪手的命中率为60%,丙枪手的命率为40%,每轮每人只射一枪。
 
  每人的行为皆属理性,而且均以最大利益选择。
 
  三、数字化分析过程
 
  (一)单次比赛
 
  1、偏心计算
 
  规则:若是三人决斗,每人只射一枪,而且全部过程只有一轮。
 
  他说假设:因为乙的命中率比丙佳,所以甲射乙比甲射丙有利,因为第二轮后,留下丙比留下乙有利,所以甲应射乙而不射丙。
 
  解说:此说不确,理由如后。 

  (1)因为规则只有一轮,没有第二轮,所以不应为第二轮打算。
 
  (2)机率要算尽各种可能,没有绝对的事,没有甲一定必射乙的事,也应存在甲有可能射丙。
 
  (3)甲的存活取决于乙丙的选择,与甲的决定无关,丙没有绝对把握,令甲乙不射。
 
  他说原解:甲射乙(在乙丙之中选高命中率)、乙射丙(在甲丙中选高命中率)、丙射甲(在甲乙中选高命中率),因此粗算三人存活率:
 
  甲:24%(被乙丙合射40%X60%=24%)
 
  乙:20%(被甲射100%-80%=20%)
 
  丙:100%(无人射丙)
 
  再论:此为只有一轮的之下的丙优势,不过若只有一轮,甲不必担心第二轮,也就没有必采以上的选择。
 
  2、公平计算
 
  事实上甲被乙射、甲被丙射、甲被乙丙射及甲不被乙丙射的机率各为25%,除了被乙丙合射只有25%外,也应考虑其它75%的变化。按贝氏定理计算各人存活率:
 
  甲活率:31%([被乙射25%X40%=10%]+[被丙射25%X60%=15%]+[被乙丙射25%X40%X60%=6%])。
 
  乙活率:23%([被甲射25%X20%=5%]+[被丙射25%X60%=15%]+[被甲丙射25%X20%X60%=3%])。
 
  丙活率:17%([被甲射25%X20%=5%]+[被乙射25%X40%=10%]+[被甲乙射25%X20%X40%=2%])。
 
  小结:
 
  这是命中率决生死的典型例子,别人命中率愈低,当然自己存活率愈高,所以甲乙丙分别按命中率递减而有存活率递增的表现。
 
  综合计算第一轮中,甲的存活率最高,丙的存活率最低,这是因为个人存活率取决于他人的命中率之失误,其它人命中率愈差,让人活的机会愈大。若只讨论甲必被乙丙所射,而且没有人叛盟,甲当然死定,这也是合作的真缔,连合二小可以抗一大,但是既然有人叛盟,就不是乙丙攻甲,而有可能会出现其它组合。
 
  (二)多次比赛
 
  1、前言
 
  既然各人命中率不同,所以对命中率高低对象的偏好,也应有不同的机率,而非铁口直断。
 
  他说没有提到的地方:
 
  在第二轮后,丙有可能面对甲,也可能面对乙,甚至同时面对甲与乙,除非第一轮中甲乙皆死。而且第二轮没有别人,不用再考虑第三轮想要留谁,第二轮为二人对射。
 
  因此第一轮结束后,丙极有可能获胜(即甲乙双亡),但是第二轮开始,丙却极遭劣势,因为不论甲或乙,其命中率都比丙命中率为高。
 
  这也是枪手丙的悲哀,由于能力不行,命中率太低不足以威胁他人,而别人甲乙的命中率都比丙高,只玩花样也许能取巧在第一轮暂时获胜,但是若有第二轮的话,丙的40%命中率实在难以与乙命中率60%或甲命中率80%相提并论。因此第二轮结束后,丙的存活率比甲或乙为低。
 
  粗算如下:
 
  (1)假设甲丙对决:甲的存活率为60%,丙的存活率为20%。
 
  (2)假设乙丙对决:乙的存活率为60%,丙的存活率为40%。
 
  不过以上太过简略,还可以按以下各项条件再详细计算。
 
  2、局部设限:对命中率高的对象之偏好计算
 
  (1)第一轮开始:
 
  甲射乙(在乙丙中选高命中率),乙射甲(在甲丙中选高命中率),丙射甲(在甲乙中选高命中率)。
 
  (2)第一轮结束:
 
  甲的活率为24%(40%X60%),乙的活率为20%(100%-80%),丙的活率为100%(无人射丙)。
 
  (3)第二轮开始:
 
  .甲活乙死(24%X80%=19.2%)
 
  甲射丙,丙射甲──甲的活率为60%,丙的活率为20%。
 
  .乙活甲死(20%X76%=15.2%)
 
  乙射丙,丙射乙──乙的活率为60%,丙的活率为40%。
 
  .甲乙皆活(24%X20%=4.8%)
 
  重复第一轮。
 
  .甲乙皆死(76%X80%=60.8%)
 
  结束。
 
  (4)第二轮结束:
 
  甲的活率为12.672%([19.2%X60%=11.52%]+[4.8%X24%=1.152%])
 
  乙的活率为10.08%([15.2%X60%=9.12%]+[4.8%X20%=0.96%])
 
  丙的活率为75.52%([19.2%X20%=3.84%]+[15.2%X40%=6.08%]+[4.8%X100%=4.8%]+[60.8%X100%=60.8%])
 
  3、局部设限:对命中率低的对象之偏好计算 

  (1)第一轮开始:
 
  甲射丙(在乙丙中选小),乙射丙(在甲丙中选小),丙射乙(在甲乙中选小)。
 
  (2)第一轮结束:
 
  甲的活率为100%(无人射甲),乙的活率为60%(100%-40%),丙的活率为8%(20%X40%)。
 
  (3)第二轮开始:
 
  .乙活丙死(60%X92%=55.2%)
 
  甲射乙,乙射甲──甲的活率为40%,乙的活率为20%。
 
  .丙活乙死(8%X40%=3.2%)
 
  甲射丙,丙射甲──甲的活率为60%,丙的活率为20%。
 
  .乙丙皆活(60%X8%=4.8%)
 
  重复第一轮。
 
  .乙丙皆死(40%X92%=36.8%)
 
  结束。
 
  (4)第二轮结束:
 
  甲的活率为65.6%([55.2%X40%=22.08%]+[3.2%X60%=1.92%]+[4.8%X100%=4.8%]+[36.8%X100%=36.8%])
 
  乙的活率为13.92%([55.2%X20%=11.04%]+[4.8%X60%=2.88%])
 
  丙的活率为1.024%([3.2%X20%=0.64%]+[4.8%X8%=0.384%])
 
  4、分析
 
  除了存活率外,事实上还有一个死亡率亦可参考,“求己生”或“让他死”同为彼此消长所在,有人求前,有人爱后,各有喜好不同。
 
  若各人皆采偏好命中率高的对手,甲只有12.672%的存活率,但是各人皆采偏好射击低的对手,甲却能有65.6%的存活率。因为若各人皆采偏好命中率高的对手中,丙的死亡率不高(24.48%);但是在各人皆采偏好命中率低的对手中,丙死亡率大幅提升(98.976%)。
 
  这种牺牲安全以谋求更大利益的原则,通常叫“冒险”,也就是博奕的基本法理,采取激进的方式,甚至不顾自身安全,为谋厚利,自损其身,在所不惜。
 
  就前例试算中,甲欲采安全的选择,结果却是存活率极低,但是若反采冒险的选择,乙丙的死亡率都会提升,就牺牲安全与谋取利益上,甲不妨采取冒险一博。
 
  四、结论
 
  实验室中的完美模型,不见得适用,因世事非尽如人意,事实常常受到很多因素的干扰。
 
  即使甲在安全上为求第二轮的优势而采留丙射乙,甲的存活率不过为12.672%,但是甲也可冒险地在第一轮先干掉丙再来对乙,丙的死亡率可高达98.976%,以上两者各有优劣,在历史上却常常看到冒险以博高功。
 
  春秋战国时就有一个很有名的史例,那就是秦国在伐韩与取蜀中两相为难,套上枪手模型,秦国为甲、韩国为乙、蜀国为丙,秦最强、韩次之、丙最弱。张仪为伐韩辩护,司马错为取蜀辩护,秦惠王并没有因韩国难以应付就先攻韩,正如甲不应以乙的命中率高就先射乙,事实上蜀国更弱,也就是甲射丙轻而易举,前面也计算出丙在甲的攻击下,死亡率极高,而伐韩或有赵魏等国之援(韩赵魏原为三晋),不易攻拔。因此甲射乙不易,但甲射丙则占优,虽然是比起比甲射乙更冒风险,但是甲不一定要在安全下抉择,留乙虽比留丙不利,但是攻丙却能比攻乙有利。秦国先灭蜀国而留韩国,就是甲留乙而杀丙,因此若有利可图,冒险又何妨。
 
  在孙权与刘备争夺荆州中,论实力的话,若说曹操为枪手甲,孙权应为枪手乙,最弱的刘备才是枪手丙,而不是以刘备势力比孙权广大就错认刘备为枪手乙。孙权在赤壁战前就拥兵十余万(采陶元珍教授《三国吴兵考》),刘备虽征荆南四郡又收川取汉中,但在湘水议和被割走二郡,又承在与刘璋及对曹操的战争中损耗之后(庞统死于攻益州、吴兰死于伐巴汉),刘备不应比孙权还强大。
 
  而孙权这枪手乙在前面命中率高低偏好中并无太多举足轻重的地位:采偏好命中率高的对手下,乙存活率为10.08%;采偏好命中率低的对手下,乙存活率为13.92%──皆介于甲丙之间。而甲灭弱丙比攻强乙更为有利,所以历史上也是魏先灭蜀,大先灭小,后来晋再吞东吴,正是这种概念,正如秦王灭蜀再攻韩,先小后大。
 
  相同的情况还有春秋战国,诸侯原有万国之称,但是大家都采兰开斯概念,以“大数法则”先灭小而成其大,最后只剩战国七雄,然后被秦统一天下。一大在前,二小私斗,最后必遭一大各个击破,“鹤蚌相争,渔翁得利”正是此理。焉有背叛而获全胜的道理,也许出卖可以在短时获利,但是长期并没有胜算。只算一轮的话,又在甲必安全稳重偏好命中率高的对象之下,丙有可能在第一轮获胜,但是若有第二轮,一但甲乙有人生还,丙就死定了,短期(一轮)丙优,长期(二轮)丙败。
 
  只有合作才能对抗强敌,只有乙丙合作,才能连手把甲解决,若是乙丙不合,乙对甲或丙对甲都不占优,必然因实力不如而落败。赤壁之战就是刘备与孙权联盟抵抗曹操的最好例证,一但二家貌合神离,魏晋有实力单独灭蜀吞蜀。
 
  争一时也争千秋,近视贪利不如宏观天下。
 
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2005-10-26 17:33:40

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县令

(2)第一轮结束:
 
  甲的活率为24%(40%X60%),乙的活率为20%(100%-80%),丙的活率为100%(无人射丙)。
 
  (3)第二轮开始:
 
  .甲活乙死(24%X80%=19.2%)
 
  甲射丙,丙射甲──甲的活率为60%,丙的活率为20%。
 
  .乙活甲死(20%X76%=15.2%)
 
  乙射丙,丙射乙──乙的活率为60%,丙的活率为40%。
 
  .甲乙皆活(24%X20%=4.8%)
 
  重复第一轮。
 
  .甲乙皆死(76%X80%=60.8%)


---------------------------------

这个算法,各人觉得有点错误,首先甲乙对射,不管谁死谁活,丙已经开过一枪,到了第二轮就是丙开第2枪,丙的命中率是40%,假设他第一枪射甲,没射中,那么第2枪不管射哪个,射中的概率显然不是40%了。

所以你这种算法是绝对错误的。

所以你后来整个推论可能都是错误的了。

这种枪手模型不是只讲1、2次射击,否则的话,这种命中率的计算就毫无意义。所谓命中率就是基于n次射击来计算概率的,不是1、2次就能计算的出来的,所以枪手模型适合整体的战略模型,而不适合局部的单次战役模型。
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2005-10-27 02:29:10

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2005-10-27 08:12:23

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东山高士

简答

 
  射击是“独立事件”,每次与每次之间没有交集,这不必解释太多,懂的人懂,不懂的人还是不懂。
 
  丢铜板还管历史,这比博奕还厉害,这种“理性”在信赖区间的检定又如何呢?百分之九十九的钟型分配?
 
  若适用整体而不适用局部,秦、韩、蜀三国也算整体,刚好就适用“兰开斯法则”的击弱优于击强,是整体而非局部。而且博奕也没有横挑强邻的作法,在魏、蜀、吴三国中,若以魏是甲、蜀是乙、吴是丙,丙也应击甲而不是射乙,因为甲又比乙强;但实际上吴为乙、蜀为丙才对,对比有错的话,结果也不会正确。
 
  这是关键,原模型的甲是曹操,乙丙各为何指,光是这点就可以检验原说正误。
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2005-10-27 09:19:22

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县令

那秦韩蜀来套用枪手模型不是很牵强吗?

枪手模型的基本要求,是需要三方面都可以互射。请问,韩蜀能互相攻击吗?两国是不搭界的。

还有攻韩,则就不是秦韩蜀三国了,还外带魏等国援助韩。攻韩则3国以上攻己,攻蜀,最多只有2国攻己,你说攻谁最优。
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2005-10-28 09:58:58

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东山高士

再答

 
  若限条件才能有效,套不套用已经无关紧要,因为业已证明枪手模型可先攻弱后攻强,反而是多加互射条件为部分特例,实际上一般而言是可以成立的,只有少数例外才先攻强而后攻弱。
 
  其实全部套回加注,就可知其缪:
 
  枪手甲、乙、丙射击,实力依序为强、中、弱,三国为曹操、孙权、刘备。
 
  若以甲为曹操,乙为刘备,丙为孙权(其实乙才是孙权,丙为刘备,首帖已述,不再复诵。),与史实的对应如下表示,括号为加注。
 
  一、赤壁之战:
 
  甲射乙,乙射甲,丙射甲(曹操攻击刘备,刘备攻击曹操,孙权攻击曹操)。
 
  二、叛盟偷袭荆州:
 
  丙射乙(孙权攻击刘备)。
 
  这很奇怪,因为甲的命中率优于乙,即曹操比刘备为强,孙权按理性的博奕理论,应该攻击曹操才对,但是反而选择刘备,即:
 
  丙应射甲,(孙权攻击曹操)。
 
  否则孙权的偏好就是选择命中率弱的人,若是此法成立,那刘备也不必死守必攻最强,所以可攻孙权。
 
  三、东征荆州
 
  乙射丙(刘备攻击孙权)。
 
  此即刘备宁选弱也不选强,因为曹操比孙权强,刘备选孙权。
 
  ──
 
  结论:
 
  原模型曾经发生:
 
  甲射乙,乙射甲,丙射甲(曹操攻击刘备,刘备攻击曹操,孙权攻击曹操),此为赤壁之战。
 
  但是后方却有变化:
 
  丙射乙(孙权攻击刘备)、乙射丙(刘备攻击孙权),此为袭荆与东征。
 
  故以历史真实推翻所谓博奕理论的假设。
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2005-10-28 10:17:08

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如果凌云兄认为孙权袭荆州,和刘备东征是正确的选择的话,那我无话可说。

问题在于,他们的抉择是错误的。

枪手模型是考虑最优战略,显然他们的做法是违背最优战略的。
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2005-10-28 10:24:29

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太守

Post by 落夜成宵
如果凌云兄认为孙权袭荆州,和刘备东征是正确的选择的话,那我无话可说。

问题在于,他们的抉择是错误的。

枪手模型是考虑最优战略,显然他们的做法是违背最优战略的。


落夜兄啊,凌云兄说的意思是孙权袭荆州不是最优。
刘备征操时执行了最优原则,可惜孙权没有配合,
再后来刘备报仇,也违背最优原则,
最后‘一大在前,两小私斗’,挂了·····
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2005-10-28 10:42:54

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县令

所以他们违背了最优原则,必将付出承重的带价
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2005-10-28 13:28:47

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2005-10-28 14:43:55

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东山高士

哈哈

 
  其实,按兰开斯方程,攻弱不攻强为最优。但是有人以为兰开斯方程只能用在战术,不能用在战略,所以大国之间一定规定要攻强不攻弱,而且不会出现非理性等,结果孙权及刘备的互攻,都很理性的采用非理性抉择。
 
  如果枪手模型成立,孙权的最优应该攻击曹操而不攻刘备(攻强不攻弱),可惜孙权不鸟这个博奕理论。如果孙权支持枪手模型,就不该偷袭刘备(攻刘备即攻弱),所以枪手模型的结论就是:
 
  孙权叛盟,不符最优之博奕理论。
 
  弦外之音就是孙权不该叛盟,孙权攻击刘备的行为为失策,这是早就知道的事,绕一大圈才得这个结论,证来证去还是这种“合作抗敌”有利,“勾心斗角”必败。
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2005-10-28 16:29:07

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县令

枪手联盟就是弱弱联盟抗强,对弱方都有利。

这个不是绕了一大圈才得知的。只不过前人没有证明这个理论,后人用这个枪手博弈证明了而已。

就如同孙子兵法一样,很多理论看起来都很简单,但往往现实中,还真有人不鸟这个理论,失败了,才长叹一声:我要看过孙子兵法就不会失败了。
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2005-10-28 17:56:47

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2005-10-28 20:22:57

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县令

那就正应了一句话:我好不了,你也别想好!

无语了 :burn:

不思进取,却打同盟的主意 :cold:

苦了刘备,乐了曹操。

帕累托效率讲的是两人合作问题,是没有第三方竞争的。孙权恰恰只顾眼前利益,忘记了还有第三方曹操。所以生搬硬套这个帕累托效率必将给自己带来后果。
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2005-10-28 23:34:35

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2005-10-31 08:06:28

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东山高士

荆州之争

 
  孙权在争三郡上,略逊于刘备的外交及战争。
 
  因为孙权已用吕蒙取得长沙、零陵及桂阳三郡,再来就是稳定占领地的问题,但是在刘备的交涉下,零陵郡硬是被讨回去,而且还赔嫁南郡,若说失零陵是失其小,那么丢南郡就是失其大。再看湘水议和的内容,乍看两家平等,各得三郡,但孙权的江夏郡是已成事实,刘备只不过是承认而已,此为虚其小,再看长沙及桂阳,已经被孙权占领,刘备只不过是失去已经丢掉的东西,此为虚其大。
 
  在政治学上,利益交换及协商谈判都是学问,包括这种吐出含在嘴中的肥肉(已占领的零陵),还有确认失去的遗物(江夏、长沙及桂阳),再来就是挖走禁脔(周瑜血战取得的南郡)。
 
  就孙权与刘备,谁是老狐狸呢?
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